弹簧振子在定常干摩擦阻尼作用下的振动

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　　弹簧振子在定常干摩擦阻尼作用下的振动卓士创董慎行21.徐州师范大学技术教育学院，江苏徐州2210；1苏州大学物理系，江苏苏州2150061引言振动系统遇到的阻尼有多形式。例如，振体在介质中振动时，由介质的粘性而引起的阻尼，称为粘滞阻尼。又如，由接触面间的摩擦而引起的阻尼，称为干摩擦阻尼，又称库仑阻尼。

　　此外还，由振动系统材料的变形而4起的内阻尼等。各种文献中关于粘滞阻尼的振动理论较多，而关于干摩擦阻的振动理论却较少。实运动方向相反。

　　以弹簧自然伸长时小球的位置，作为原点，建立维坐标系。同，设振体从右端最大位移1=办处开始振动，初速度为0.则振体振动的微分方程为振体自1左振动。服从方程1；振体左以右振动，服从方程1.

　　上，在某些情况下，干摩擦阻尼起主导作用。例如，1中，穿在水平细杆上的小球7与轻质弹簧组成的振动系统，当振体速度不大时，空气阻力可以忽略，而杆与小球之间的干摩擦起上导作叫。1面对其振动情况作些探讨。

　　2振动的微分方程及其般解为了突出主要问，此处只考虑干摩擦阻力的影响。的大小是不变的，其方向始终与分别写成标准形式它们是阶常系数线性非齐次微分方程。其对应的齐次方程，+；=，的通解为由于方程2的自由项1为常数，故设它，+山2.，=令，解之得收稿日期200，608；修回日期2001沉023具有特定的物理意义，后文专门讨论。故方程⑵的通解为同理得方程2的通解为其中和为两个积分常数，由初始条件决定。何冗要强调的是，由于振体往复运动。方程1和1以及式3和3都是交替起作用的，每阶段半个周期都以前阶段的终态为初始条件，因此，式3和3中的和，在不同阶段的取值是不同的，下面分别加以确定。

　　份移处运动到左端最大位移处。将初始糸1切=0时尤=1.及=0分别代入式3，可以解得允=心1=故第1阶段的振动方程解为其终态值为。=兀时。1=，33=抑25=0，此即第2阶段的初始条件。

　　大位移处运动到右端从大位移处。将初始条件叫=兀时，1=1.23及=，分别代入式3，可以解得，=1.38，2=兀。整理得第2阶段的振动方程解为相应地有V=X0其终态值为处=2时，1=义，4=0，此即第3阶段的初始条件。

　　同样得到第3阶段的振动方程解为其终态值为时=灰时，1=，6 8，=第4阶段的振动方程解为其终态值为收=扣时，8=0.

　　co4其终态值为时=冗时，尤=2解的般形式，式中为自然数，其值由恤sIfl YJ1=inty1决足注1站以51语3的取整函数，它返，个不人丁自变量工的整数。

　　3振动的基本规律与振动象3.1振动的基本规律3.1.1动平衡位置在振动中心的两侧往复跃迁动平衡位置即弹黄振子的振动小球处尸运动状态时的受力，衡点。在这。小球所受，复力为零，速度最大。由于摩擦力的存在，振体到达原点，时，虽然所受的弹力为零，但合力并不为零，因此，原点，不是振体的动平衡位置。但由于振体始终在原点，的两侧往复振动。故将，点称为振动中心。振体真正的动平衡位置有两个，分别位于原点，的两侧。2当振体向左振动时，动平衡点位于，点的右侧。=，即1化+3处当振体右振动时。动平衡点位于，点的左侧=，即1=化=8处。由于振体往复振动，因此，动平衡位置在0点两侧往复跃迁。

　　3.1.2振动的等时性严格地说。肌尼振动不是周期运动。因为由尹振幅的衰减振体不能完全重复自己的路径。

　　但它仍是在振动中心的两侧往复运动，其飧性质。因此，仍把振体往复运动次所用的时间称为周期。由式4可知，在不同阶段，虽然振体化，且圆频率都相同，因此，每阶段所用的时间都相等。把相邻两个阶段作为个周期，则仍厂友。可定常于摩擦阻作用下。振动仍然具有等时性。

　　3.1.3振动各阶段振幅按等差数列的规律递减阶段半个周期的振幅依次为尤，3工，5茂，工，2，15可，振动各阶段，振幅按等差数列的规律递减递减公差即振幅对于动平衡位置的，大位移。而不是相对千振动中心的最大位移。

　　3.1.4振动各阶段，能量的衰减量按等差数列摩擦力作功娃系统能1衰减的原因。每阶段能量的衰减沿等于这阶段摩擦力所作的功。

　　知+纷以可振动各阶段能量的衰减味按等差数列的规仆递；成递减公差为4作3.2振动象叫板分别作出振动的尤。，1.

　　从3中的各象上不仅能看到1随时间，的变化以及振幅的递减振动的等时性等明显的规作。还以清楚地沿到周期为阶段。当=7，3727时，在，象上，存在连续但不可导点，在象上存在断点。这些点是各阶段之间的转折点，由摩擦力的方向突变而产生。

　　在振动的每阶段半个周期，振动相段椭圆曲线的对称轴不同。当振体向振动，半椭圆曲线的对称轴在以点，右侧=3处；当振体向右振动时，半椭圆曲线的对称轴在原4进步讨论V.OH.=3j！i3v才有极值。由式4和4消去，就可以得到象的半椭圆曲线方程的般形式为此外根据产，人及丑=总能量随时间变化关系的曲线，4，0.从4可以看出，在振动过程中，动能与势能相互转化，而系统的总能量在不断衰减。另外，从4还可以看出，振动终态系统的能量残余势能以+为孓。

　　3的意义存在而引起的动平衡位置相对于振动中心的撄移量。另外，由3.1.3知，每相邻半周期振幅的哀减里为2所以，8又在7内，由于摩擦损耗而引起的振幅衰减量。

　　4.2振动的半周期数由式幻知各阶段振动的振幅为，=衰减最为23假定振动能够维持，个半周期，即则打由此解得又为自然数，所以有2.J，它振体能够持续振动的半周期数。

　　4.3形成振动的条件由式5有。此时振体不能振动。

　　沿，即0红。，此时振体只能从右侧最大位移处点经过右侧动平衡位置5点向左运动到左侧最大位移处点并停止，5即此时振体能往复运动次并停止，5.

　　叮振体能形成次住复振动的条件足亨爻要维持史微的振乳则纶满足，feo了4.4振动的终态4.4.1振体的终态位置当振体能够持续振动的半周期数，确定以后，根据终态边值时=及式4，就可以唯地确定振动系统的终态位置为。=动中心的右侧1=，2以处；若为奇数，则0，振体7在振动中心的左侧= 2，处。在尤轴上的+区间是振动结束时，振体可以稳定停留的区间，称为静平衡区间。

　　4.4.2振动系统的残余势能振动终态，如果振体不是停在振动中心，而是停在静1衡区间内的其它位置。则系统的残余势能并+为零。根据振体的终态位置。可以算出系统的残余势能为，=+办2，32.

　　乾，黄脎俞允强等译。北京科学出版社，1979.294299.

　　2苏安德罗诺夫入入维特人哈依金0.振动理论上册峋。振动力学翻译组译。北京科学出版社，1973.156163.

　　漆安慎，杜婵英。力学基础以。北京高等教育出版社，1982.425429.

　　4哈尔滨工业大学理论力学教研室。理论力学叫。北京高等教育出版社，1982.308，314.

　　简式多量程微电流源数字计置仪旧型4附录13型微计仪的面板意和内部主要结构原理意由6与7不难看出8型微计仪可以作为个量程为士1.999人而内阻为0.的直流数字电流头上接21页